作者：史蒂文·J. 米勒
内容简介：
本书讲解概率论的基础内容, 包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、 连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等, 内容丰富, 通俗易懂, 并配有丰富的例子和大量习题, 涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。
试读
概率论是一门涉及面非常广的学科. 它的应用相当广泛, 既可以应用于纯数学领域, 有时也会被一些职业赌徒利用. 任何一本书都无法涵盖概率论的所有应用. 不管是本书还是你上课使用的教材, 都不会把全面论述概率论的应用作为目标. 通常情况下, 教材会介绍一些一般性的理论和技巧, 并叙述概率论的若干应用和相关扩展阅读. 为了帮助教师更好地规划课程, 教材的最后通常会给出几章高阶内容.
本书既可以作为任何一本经典入门教材的补充材料, 也可以作为主要教材来使用, 因为它通过大量有解的题目以及对一般性理论的探讨来阐释概率论这门课. 我们会分析一些奇妙的问题, 并从中提炼出一些常用的技巧、观点和方法. 这样做的目的是让你学会独立完成模型的构造并解决相关问题, 进而断定什么样的问题才值得研究.
首先, 与阿德里安·班纳的《普林斯顿微积分读本》类似, 本书给出了大量有解的练习题. 在查阅答案之前, 你最好先看一看这些题目并花些时间做一做; 而本书也会给出所有题目的完整解答. 与很多书不同的是, 我们不会只给读者证明和例子, 而不给出具体的细节; 我建议你先试着做一下题目, 当有问题时再去查看相关细节.
其次, 概率论中的证明要比微积分中的证明多很多, 而这不应该让你感到吃惊. 学生通常会认为概率论在理论上的证明是极具挑战的, 而本书的主要目的就是帮助他们渡过这个难关. 整个附录A都在阐述证明技巧, 通过学习这部分内容, 你的证明技能会得到很好的锻炼和提升. 另外, 对于那些出现在概率论课上的典型结论, 其中绝大部分的完整解答都能在本书中找到. 如果你(或者你所学的课程)并不关心证明, 那么可以跳过其中很多论证, 但你至少应该浏览一下这部分内容. 尽管证明通常都很难, 但理解一个证明并不像给出一个证明那么困难. 进一步说, 在通常情况下, 我们只看证明过程就能理解定理想要表达的是什么, 或是知道该如何去运用它. 我的目的并不是给出结论的最简短证明, 而是通过细致的叙述来与你共同探讨如何去思考问题以及怎样着手证明结论. 此外, 在证明结论之前, 我们通常会花费大量时间去考察特殊情况, 这样就能对题目有直观的了解. 这是极其宝贵的技巧, 对你将来学到的很多课程都会有帮助. 最后, 我们会频繁讨论如何编写和执行代码来检验我们的计算结果是否正确, 或者让我们对答案有一定的认识. 如果想在 21 世纪的劳动大军中获得竞争优势, 那么你必须具备编程和模拟的能力. 能够写出一个简单的程序来模拟某个问题的100万种可能情况对我们来说是非常有用的, 这些结果通常会提醒你留意那些被遗漏的因素或其他错误.
在引言中, 我们将叙述三个有趣的问题, 涉及概率论中的不同内容. 除了有趣之外, 这些例子还能用来引入概率论中的很多核心概念. 对于本章中的其他内容, 我们会默认你已经非常熟悉概率论中的基本概念了. 不要慌张, 我们稍后将会详细地定义每个概念. 在这里, 我们要做的只是随意地聊一些有趣的问题, 并让你对概率论这门课有一定的认识. 不用担心无法准确地定义每个概念, 日常的生活体验已经为你提供了足够的背景知识. 我只希望能让你对这门课程有个大体的认识, 可以把美妙的数学展现在你眼前, 并激励你在接下来的几个月里专注地学好这门课并用好本书. 在后面几章里, 我们有大量的时间来把所有的细节补充完整.
那么, 不多说了, 我们来看第一个问题吧！
1.1 生日问题
生日问题是我最喜欢的概率论练习之一. 对于那些大班授课的教授来说, 如果在生日问题上与学生打赌, 那么他们肯定收入颇丰. 接下来, 我们要对该问题的几种表述展开讨论. 花费大量时间来陈述这个问题并非毫无道理. 在现实生活中, 你必须弄清楚问题是什么; 你要成为一名指导具体工作的人, 而不是只懂得做代数题的技术员. 通过讨论具体细节, 你会发现我们很容易在无意中假定一些条件. 进一步说, 在没有出现错误的前提下, 不同的人可能会得到不同的答案, 而这仅仅是因为他们对问题的解读是不一样的. 因此, 能够一直清晰地认识到你在做什么以及为什么要这样做是非常重要的. 于是, 我们会花费大量时间来陈述这个问题并加以精练, 进而求解出问题的答案并由此来强调概率论中的许多核心概念. 我们的第一个解答是正确的, 但在计算方面相当麻烦. 因此, 我们会在最后简短地描述如何利用一点微积分的知识来轻松地逼近答案.
1.1.1 陈述问题
生日问题(表述1)：房间里有多少人才能保证其中至少两个人的生日在同一天的概率不小于 ？
这看起来是个非常好的问题. 你的脑海中应该正闪现出大量不同的社交场所和不同数量的人, 比如象棋社的年终宴会、高中毕业舞会、政府筹款晚宴, 或者是感恩节庆典. 不管是哪种场合, 我们关心的是一共有多少人出席以及是否有两个人的生日在同一天. 如果能搜集到足够多的数据, 我们就能了解一共需要多少人出席.
尽管这看起来好像已经很完整了, 但实际上还有很多隐藏条件. 陈述问题一定要清晰且完整, 而本书的目的之一就是强调这一点的重要性. 这与微积分和线性代数有很大的不同. 微积分和线性代数这两门课都非常直白：求导数, 对函数求积分, 求解方程组. 但就像上面所说的, 对这个问题的描述并不是那么明确. 我的妻子有一个双胞胎姐妹. 因此, 在她的家庭聚会上, 总会有两个人的生日相同1为了避免这种特殊情况, 要对一般化的人群展开讨论. 我们需要了解人们的生日在一年中是如何分布的, 图1-1是一个例子. 更具体地说, 我们将假设生日之间是相互独立的; 也就是说, 从某人的生日信息中无法推断出其他任何人的生日信息. 独立性是概率论中最核心的概念之一, 因此会在第4章中进行充分讨论.
1这并非唯一的家庭问题. 通常情况下, 兄弟姐妹的出生日期几乎都恰好相差 年, 其原因与生活状况以及受孕周期有关. 我的孩子(Cam 和 Kayla)都出生在3月, 相差2岁. 他们最年长的两个堂兄(Eli 和 Matthew)都出生在9月, 也相差2岁. 看一看你家里是什么样的情况？你是不是认为家人的生日之间没什么关联？
图 1-1 2013年秋季威廉姆斯学院本科生生日分布
这就引出了第二种表述.
生日问题(表述2)：假设对每个人来说, 出生在一年中任何一天的概率都是相等的. 那么, 房间里有多少人才能保证其中至少两个人的生日在同一天的概率不小于 ？
虽然这个表述更好, 但对我们来说这个问题仍然非常含糊, 无法展开讨论. 为了找到问题的突破口, 我们仍需要更多有关一年中生日分布的信息. 此刻你应该会有些困惑：难道我们还没有彻底弄清楚生日是如何分布的吗？我们只说过任何一天成为某人生日的概率都是相等的. 因此, 如果假设没有人出生在2月29日, 那么这就意味着在 365个人中, 大概有一个人出生在1月1日, 有另一个人出生在1月2日, 等等. 还需要哪些信息呢？
这个结果十分巧妙, 但仍然需要假设才能成立. 这样做有什么错呢？在我们的假设中, 所有人都是被随机挑选出来的！ 但社交集会的特性可能会导致出生在某些日子里的人比出生在其他日子里的人多很多. 这看起来非常荒谬. 毕竟, 在一年中的某些特定日子里出生显然与棋艺精湛或者足球踢得好没什么关系. 不是吗？
不对！看一看马尔科姆·格拉德威尔在他的畅销书《异类》中举的例子. 在该书第1章中, 他对 “在一些运动项目中, 生日与成功有着密切的关联” 这一说法进行了研究. 例如, 在加拿大青少年曲棍球联赛中, “有资格参加某年龄段曲棍球比赛的年龄是以1月1日为分界点来划分的”. 从青少年时期开始, 最好的球员就特别受关注. 但仔细想一想：在七八岁的年龄段, (绝大部分)最好的球员年龄也最大. 因此, 那些生日恰好在分界点——出生在1月和2月——的球员就有能力与同年龄段更小的球员展开竞争, 从中脱颖而出, 然后进入一个自我实现的有利循环. 他们得到了更好的训练, 具有更强的竞争力, 甚至拥有最顶尖的装备. 于是, 这些年龄较大的球员就以更快的速度变得更加优秀, 并在不久的将来获得更大的成功.
在书中, 格拉德威尔用球员的生日来代替他们的名字：“这听起来不像是加拿大青少年曲棍球锦标赛, 而更像是专门为摩羯座、水瓶座和双鱼座男孩举办的一场奇怪的运动仪式. 3月12日开始靠近猛虎队球网的一侧, 并把球传给了他的队友1月4日; 1月4日又把球传给了1月22日, 随后球被1月22日回传给了3月12日, 并由3月12日直接射向猛虎队的守门员4月27日. 球被4月27日挡在了球门外, 但又被来自温哥华的3月6日打了回去. 他射门了！尽管来自梅迪辛哈特的后卫2月9日和2月14日俯身救球, 但已经于事无补, 1月10日看起来失望不已. 3月6日得分了！”因此, 如果我们出席的是加拿大职业曲棍球球员的聚会, 就不能给出“每个人在一年中任何一天出生的概率都相等”的假设.
为了简化分析过程, 我们假设每个人确实等可能地出生在一年中的任何一天, 尽管我们清楚这个假设并不总是合理的. 赫尔利写过一篇很棒的文章, 研究的是当所有人的生日都不具有等可能性时将会发生什么. 此外, 我们还假设一年只有365天. (非常遗憾, 如果你出生在2月29日, 那么就不会被邀请参加此次聚会.) 也就是说, 我们假设生日服从均匀分布. 在第13章中, 我们会详细地讨论均匀分布并对更一般的分布展开研究. 于是, 我们得到了问题的完整表述.
书评：
《普林斯顿概率论读本》（原名Introduction to Probability）是一本经典的概率论教材，由美国普林斯顿大学的数学教授Dimitri Bertsekas和John Tsitsiklis合著。该书向读者介绍了概率论的基本概念、理论以及其在实际应用中的运用。
本书内容深入浅出，使用的语言简洁明了，适合所有对概率论感兴趣的读者阅读。书中以理论和实践相结合的方式，为读者提供了广泛的案例和数学方法，让人在数学和统计的世界里徜徉。除此之外，本书还附带有大量的习题和参考资料，帮助读者加强对概率论的理解与掌握。
该书的作者Bertsekas和Tsitsiklis在概率论研究领域拥有广泛的经验和口碑，并致力于将他们的知识分享给读者。所以，无论你是初学者还是已经掌握了某些概率论知识的人，这本书都能为你提供一种不同的看待概率和随机性的角度和理念。
总而言之，《普林斯顿概率论读本》是一本对概率论进行深入阐述的经典教材，内容广泛而深入，难度适中，为广大读者解释了这一难以理解的扑克牌之上的数学。如果你希望深入了解概率论，这本教材是值得推荐的。
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